Cálculo mental 2
Ya os hablé de la facilidad de cálculo mental de algunos personajes en este artículo. Hoy vemos una continuación.
Los matemáticos y científicos en general no tienen por qué ser buenos calculistas, pero cuando lo son, llegan a ser algo espectacular. También hay que decir que existen personas no dedicadas a la ciencia que tienen una facilidad extraordinaria para realizar cálculos mentalmente.
He sabido de una matemático que es una honrosa excepción. Ernst Eduard Kummer (1810-1893) fue un famoso algebrista alemán alumno de Gauss y Dirichlet. Era malo, muy malo en aritmética. Siempre que tenía que resolver en clase la más simple operación de esta disciplina recurría a la ayuda de alguno de sus alumnos. En una ocasión necesitaba calcular 7 x 9.
– 7 x 9 – empezó – son … pues… esto… 7 x 9 son …
Un alumno sugirió 61. Kummer escribió 61 en la pizarra.
– Señor – dijo otro alumno – son 69.
-Venga, caballeros, venga – dijo Kummer- no pueden ser ambos: o es uno o es otro.
Aunque eso no es el caso general. Uno de los compañeros de Enrico Fermi en Italia fue un físico llamado Ettore Majorana. Laura, la esposa de Fermi, nos lo cuenta cómo era con sus propias palabras:
Ettore Majorana era un genio, un prodigio aritmético, un portento de perspicacia y potencia pensadora. Decían que era la mente más profunda y crítica de la Universidad de Física. Nadie se molestaba en usar la regla de cálculo si Ettore Majorana presente.
– Ettore, ¿quieres decirme el logaritmo de 1.538? ¿cuál es la raíz cuadrada de 243 por 578 elevado al cubo?»
Cierta vez, Fermi y él tuvieron un desafío. Fermi trabajaba con lápiz, papel y regla de cálculo. Majorana exclusivamente con la cabeza. Y quedaron empatados.
Majorana era un hombre introvertido y tímido ante los demás. Su cabeza no paraba de funcionar. Cuando iba en tranvía, con frecuencia, le asaltaba una idea o una teoría que relacionaba hechos experimentales entre sí. Entonces se ponía a buscar un lápiz que tenía en los bolsillos. El papel lo proporcionaba una cajetilla de tabaco. Más tarde, saltaba del tranvía e iba corriendo al Colegio de Física, buscaba a Fermi y a Franco Rasetti y cajetilla en mano exponía su idea.
– ¡Excelente! Escríbelo y hazlo publicar.
– ¡Oh no!, es un juego de niños.
Fumaba el último cigarro que le quedaba y tiraba la cajetilla a la papelera repleta de números. De hecho, Majorana ya había deducido la teoría de Heisenberg, antes que éste la publicara, sobre el núcleo con los protones y neutrones como piedras de construcción pero jamás lo publicó.»
Srimathi Shakuntala Devi, nacida en Bangalore en 1931, asombró al mundo durante décadas efectuando cálculos mentales. Parecía tener la capacidad de moverse en el mundo de las relaciones numéricas como «Alicia en el País de las Maravillas». En una memorable ocasión se presentó en Texas y actuando bajo controles estrictos supo encontrar en cincuenta segundos la raíz 23 de un número de doscientos dígitos. Sin embargo, fuera de esta asombrosa facultad, Shakuntala sólo ostenta una inteligencia normal. En 1978, en un espectáculo televisivo de la BBC hizo en pocos segundos la siguiente operación: 637.432 x 513.124 y remató la actuación calculando la raíz cúbica de 71.991.296.
El 18 de junio de 1980 contestó correctamente y en 28 segundos la siguiente operación: 7.686.369.774.870 x 2.465.099.745.779 cuyo resultado, por si tenéis curiosidad es 18.947.668.177.995.426.462.773.730. Esto se menciona en el Libro Guinness de los Récords de 1995.
En las reuniones celebradas en Los Álamos, durante la Segunda Guerra Mundial, von Neumann, Enrico Fermi, Edward Teller y Richard Feynman lanzaban continuamente ideas. Siempre que había que efectuar un cálculo matemático, Fermi, Feynman y von Neumann se ponían en acción. Fermi empleaba una regla de cálculo, Feynman una calculadora de mesa, y von Neumann su cabeza. ¿Adivináis quién ganaba?
La cabeza de Neumann terminaba normalmente la primera, y las tres soluciones eran siempre muy parecidas, y es que Neumann fue en esto quizás el mejor de la historia.
Herman Godlstine, un conocido matemático nos cuenta la siguiente anécdota.
«Una vez, un excelente matemático se detuvo en mi despacho para discutir un problema que le había estado preocupando. Tras una discusión bastante larga e infructuosa, dijo que se llevaba a casa una calculadora de mesa y evaluaría esa noche algunos casos especiales. Al día siguiente llegó al despacho con un aspecto muy cansado y ojeroso. Al preguntarle la razón dijo triunfalmente que había calculado cinco casos especiales de complejidad creciente durante una noche de trabajo; había terminado a las 4:30 de la madrugada.
Esa misma mañana, más tarde, vino inesperadamente von Neumann en un viaje de consulta y preguntó cómo iban las cosas. Entonces llamé a mi colega para discutir el problema con von Neumann, quien dijo: «Calculemos algunos casos especiales». Estuvimos de acuerdo, cuidando de no hablarle del trabajo numérico realizado la madrugada anterior. Entonces él fijó la vista en el techo y quizá en cinco minutos calculó mentalmente cuatro de los casos laboriosamente evaluados con anterioridad. Cuando él había calculado durante cinco minutos el quinto caso, el más difícil, mi colega anunció repentinamente la respuesta final. Von Neumann quedó completamente perturbado y rápidamente volvió, con un ritmo más acelerado, a sus cálculos mentales. Al cabo de quizá otros cinco minutos dijo: «Sí, es correcto». Luego mi colega se fue y von Neumann pasó quizá otra media hora de considerable esfuerzo mental tratando de comprender cómo alguien había encontrado un modo mejor de tratar el problema. Finalmente se le informó de la situación y recuperó su aplomo».
Fuentes:
«Más brillante que 1000 soles»
«Átomos en mi familia», Laura Fermi
«Eurekas y Euforias», Walter Gratzer
«El curioso mundo de las matemáticas», David Wells
«Los matemáticos no son gente seria», Claudi Alsina, Miguel de Guzmán
http://en.wikipedia.org/wiki/Shakuntala_Devi
El día 15 de junio de 2006 a las 12:47
Yo tenía un compañero en COU cuyo entretenimiento cuando paseaba por la calle era hacer mentalmente multiplicaciones y raíces de las matrículas de los coches. Después entró en la facultad de Físicas donde los dos primeros cursos fueron como un paseo para él. Después le perdí la pista.
¿Por qué yo he sido siempre incapaz de hacer mentalmente multiplicaciones donde los dos números tuviesen más de dos dígitos? :o(
El día 15 de junio de 2006 a las 15:44
Seguramente por falta de entrenamiento 😀 La verdad es que es impresionante cómo determinada gente es capaz de calcular tan extremadamente rápido. A mi no me cabe en la cabeza, y eso que uno de mis ejercicios típicos (y que nadie me recomendó, asi que no lo tengáis en cuenta) para mejorar mi penosa concentración era la de hacer mentalmente multiplicaciones de números de cuatro dígitos. Pero era muy cansado, y a veces metía la pata 😛
El día 15 de junio de 2006 a las 16:25
Gracias por los comentarios, AnionioT y Esteban.
A mí, el que me hace alucinar de verdad es von Neumann. Eso que en unos 15 minutos resuelva 5 casos de cabeza que otro matemético necesitó de una noche … es impresionante. Y los otros dos artículos referenciados de él no desmerecen.
Salud!
El día 15 de junio de 2006 a las 20:39
Yo era un esclavo de la calculadora hasta que entre en primero de carrera y nos la prohibieron en los examenes. Despues de calcular todo de cabeza durante un año doy gracias por que haya sido asi. Para el dia a dia es muy practico (calcular porcentajes, probabilidades o simplemente poder dar un orden de magnitud cuando los demas dicen numeros al azar).
Saludos y animo con el blog que esta muy interesante.
El día 20 de junio de 2006 a las 00:34
Sin duda es motivo de admiración que alguien sea capaz de tales proezas, pero tampoco os dejéis llevar demasiado por el entusiasmo. Entre los números enteros existen infinidad de propiedades aritméticas que si se conocen bien y uno acaba familiarizándose con ellas, son de gran ayuda a la hora de efectuar cálculos mentales. De hecho, el mejor calculista no lo es porque sus neuronas trabajen más rápido y mejor que las del común de los mortales (es más, siguiendo esta premisa, y viendo los tiempos que consiguen en sus cálculos, sus cerebros deberían ser unas 100 veces más potentes que el de una persona normal, algo que va más allá de toda lógica si no es que es llanamente una falsedad como un templo), sino porque a base de memorizar propiedades, reglas y tablas, llegan a conocer trucos o atajos que facilitan el proceso increíblemente. En primer lugar, por ejemplo, ellos no sólo se saben la tabla de multiplicar del 1 al 9, sino del 1 al 100 o más allá, y así, al calcular pongamos 4787*8295 ellos ya saben cuanto es 4700*8200 de memoria, luego le suman 4700*95 (otra vez sólo dos cifras significativas por cada número, y por tanto es una multiplicación que ya tienen memorizada en su tabla del 1 al 100 particular y por tanto lo pueden hacer inmediatamente), luego suman 8295*87 (87*8200 + 87*95, otra vez solo 2 cifras significativas), dando el resultado final de 39708165, y sin haber realizado ningún cálculo (salvo las sumas), sólo recitandolo y extrayéndolo de su memoria.
El único pero importantísimo esfuerzo mental es el realizado previamente en la memorización de todas esas reglas. Y la memoria, no la rapidez de cálculo, sí que es algo que podemos aumentar exponencialmente.
También hay muchos trucos para extraer raíces imposibles, del tipo la raíz 13 de un número de 100 cifras (el mayor esfuerzo aquí es más que nada memorizar instantáneamente esas 100 cifras, pero como ya dijimos, la memoria sí es algo que podemos ejercitar y aumentar considerablemente). Las raíces de 13 y otros numeros (p.e. 5, 7, 13, 23, etc.) tienen propiedades muy útiles, como repetición de patrones (cuando el radicando acaba en ciertas cifras, la raíz ha de acabar en unas cifras muy definidas, y otras muchas cosas de esta índole), e incluso a veces es más difícil, a efectos de cálculo, extraer la raíz cuadrada de un numero de 20 cifras, que la raíz 13 de uno de 100.
Otras reglas y trucos es haber memorizado tablas de logaritmos, ya que los logaritmos convierten multiplicaciones en sumas, raíces en productos y etcétera; pero en definitiva, otra vez no es extricto cálculo lo que hacemos, sino memorizar.
Klein y Aitken, por ejemplo, explican detalladamente muchos de sus procesos mentales a la hora de realizar cálculos asombrosos y tienen que ver con lo que estoy diciendo.
Bueno, si queréis más información:
http://www.13throot.com
El día 22 de junio de 2006 a las 10:26
Interesantísimo, Maelstrom. No obstante, es como cuando admiras a un gran trapecista. Ya te pueden decir que lleva años entrenando, aun así, es impresionante.
Muy buena aportación.
Salud!
El día 22 de junio de 2006 a las 23:23
Gracias.
Su blog es de los más interesantes que he visitado en toda la web y sin importar el idioma.
Pero quisiera añadir una aclaración con respecto a las raíces 13 de un número de 100 cifras, y es que ni siquiera hace falta memorizar las 100 cifras. Sus raíces están tan bien definidas que a veces sólo hace falta memorizar unas cuantas, y no todas, de esas 100 cifras para dar con el resultado.
Otra cosa. El algoritmo de multiplicación que emplee como ejemplo en el producto de 4787*8295, se llama «multiplicación cruzada». No está de más un poquito de cultura, ¿verdad?
Y una última cosa también. Considero una gran merma educativa en las matemáticas el hecho que sólo se nos haga memorizar la tabla de multiplicar del 1 al 9. Desde mi punto de vista, deberían enseñarnos una tabla del 1 al 100 (que no se asuste nadie, no es tan difícil) así como una tabla de potencias de numeros primos (como la que memorizó el brutal Leonhard Euler, que consistía en las diez primeras potencias de los primos del 1 al 100). No en vano, conocer este tipo de cosas a veces es de gran utilidad, porque nos ayuda a priori a conocer el rango de los resultados de un problema sin resolverlo y por tanto ayuda en nuestra inteligencia intuitiva.
Sin más, me despido cordialmente.
El día 23 de junio de 2006 a las 00:57
Muchas gracias, de nuevo, por tus aportaciones y tus amables palabras.
Salud!
El día 23 de junio de 2006 a las 10:25
La mayoría de estudiantes no están por la labor de tanta memorización. Lo que batallo yo con mis alumnos de ESO para que, por lo menos, no introduzcan los signos en la calculadora para las multiplicaciones.
El día 24 de junio de 2006 a las 00:05
Creo que sería interesante hacer exámenes de matemáticas sin calculadora. Agudiza el ingenio.
Salud!
El día 29 de junio de 2006 a las 01:30
El entrenamiento hace mucho, y la práctica rutinaria más; me dí cuenta cuando estudia bachillerato, que a fuerza de hacer problemas y problemas,
pues terminé aprendiendo los cuadrados hasta el 50 y otros más. Al igual pasaba con las raíces y los primos (llegue hasta el 1000). Y es que los datos o números eran los «mismos», o sea trillados para que no hubiera complicaciones o pegas en los temas- problemas que se proponían en distintos libros.
«Que la inspiración-fantasía-musa-imaginación-ajá te pille trabajando»
El día 29 de junio de 2006 a las 01:37
Me quedo con tu última frase … genial.
Salud!
El día 12 de julio de 2006 a las 19:23
Sencillamente genial (mas bien complicadamente genial XD) Gracias a todos por estas perlas del saber. Un abrazo.
El día 13 de julio de 2006 a las 00:31
Gracias a ti, Kuroma, por interesarte.
Salud!
El día 22 de agosto de 2006 a las 14:08
Maelstrom no tienes un blog propio, por favor, me parecen muy interesantes tus palabras. Me gustaría leer más sobre lo que escribas.
El día 22 de agosto de 2006 a las 14:11
Bueno ya he visto tu link en el nombre, gracias!!!